ห้องเรียนคณิตศาสตร์ ครูวชรกมล

   สมมูลและนิเสธของประโยคที่มีตัวบ่งปริมาณ จงพิจารณาว่าประโยคที่กำหนดให้สมมูลกันหรือไม่      ∀X[ P(x) ∨ Q(x)] กับ  ∀X[ Q(x) ∨ P(x) ] วิธีทำ   เนื่องจาก รูปแบบของประพจน์ที่สมมูลกัน   p ∨ q  ≡  q ∨ p จะได้  P(x) ∨ Q(x)  ≡  Q(x) ∨ P(x) ดังนั้น   ∀X[ P(x) ∨ Q(x)]  ≡ ∀X[ Q(x) ∨ P(x) ] จงหานิเสธของประโยคที่กำหนดให้      ∀X[ x ≠ 2 ] → ∃X[ x ≠ 2 ] วิธีทำ    จากนิเสธของ  ∀X[ P(x) ] → ∃X[ Q(x)]  คือ  ∀X[ P(x) ]   ∧   ~ ∃X[ Q(x)] จะได้  นิเสธของ   ∀X[ x ≠ 2 ] → ∃X[ x ≠ 2 ] คือ  ∀X[ x ≠ 2 ]  ∧  ~ ∃X[ x ≠ 2 ] และ   จากนิเสของ  ~ ∃X[ P(x) ] คือ  ∀X[ ~ P(x) ] จะได้  ~ ∃X[ x ≠ 2 ] คือ  ∀X[ x = 2 ]     ดังนั้น    ~ ( ∀X[ x ≠ 2 ] → ∃X[ x ≠ 2 ])  คือ  ∀X[ x ≠ 2 ]  ∧  ∀X[ x = 2 ]  ฝึกสมอง ลองความไว กับแอป QMath เล่นง่าย สนุกกับการเรียนรู้ สามารถดาวน์โหลดแอปได้ที่ลิงค์ด้านล่างเลยนะคะ https://play.google.com/store/apps/details?id=com.pro45.qmath

 สมมูลและนิเสธของประโยคที่มีตัวบ่งปริมาณ   สมมูล ของประโยคที่มีตัวบ่งปริมาณ         ∀X[ P(x)→Q(x) ] ≡ ∀X[ ~ P(x) ∨ Q(x) ]           ∃X[ P(x)→Q(x) ] ≡ ∃X[ ~ Q(x) → ~ P(x) ]           ∃X[ ~( P(x) → Q(x)) ]  ≡ ∃X[ P(x)∧ ~ Q(x) ]           ∀X[ P(x) ] → ∃X[ Q(x)]  ≡ ~∀X[ P(x) ] ∨ ∃X[ Q(x)]                    ∃X [ P(x) ] → ∃X[ Q(x)]  ≡ ~∃X[ P(x) ] ∨ ∃X[ Q(x)]                 ~(∀X[ P(x) ] ∨ ∃X[ Q(x)])  ≡ ~∀X[ P(x) ] ∧ ~ ∃X[ Q(x)]        นิเสธของประโยคที่มีตัวบ่งปริมาณ นิเสธของ  ∃X [ P(x) ] ∧ ∃X[ Q(x)] คือ  ~∃X[ P(x) ]  ∨  ~ ∃X[ Q(x)] นิเสธของ  ∀X[ P(x) ] → ∃X[ Q(x)]  คือ  ∀X[ P(x) ]   ∧   ~ ∃X[ Q(x)] นิเสธของ  ∀X[ P(x) ]  คือ  ∃X[ ~ Q(x)] นิเสธของ  ∃X [ P(x) ]  คือ  ∀X[ ~ P(x) ]      ฝึกสมอง ลองความไว กับแอป QMath เล่นง่าย สนุกกับการเรียนรู้ สามารถดาวน์โหลดแอปได้ที่ลิงค์ด้านล่างเลยนะคะ https://play.google.com/store/apps/details?id=com.pro45.qmath

 ค่าความจริงของประโยคที่มีตัวบ่งปริมาณ ส่วนประกอบของประโยคที่มีตัวบ่งปริมาณ มี 3 ส่วน คือ     ตัวบ่งปริมาณ ตามด้วยประโยคเปิด และเอกภพสัมพัทธ์ เช่น                     ∀X[X>0], 𝚄 = {1, 2, 3}                     ∃X[X>0], 𝚄 = {0, 1, 2, 3} บทนิยาม                     ∀X[P(x)] มีค่าความจริงเป็นจริง ก็ต่อเมื่อ แทนตัวแปร x ใน P(x) ด้วยสมาชิกแต่ละตัวในเอกภพสัมพัทธ์ แล้วได้ประพจน์ที่มีค่าความจริงเป็นจริงทั้งหมด                    ∀X[P(x)] มีค่าความจริงเป็นเท็จ ก็ต่อเมื่อ แทนตัวแปร x ใน P(x) ด้วยสมาชิกอย่างน้อยหนึ่งตัวในเอกภพสัมพัทธ์ แล้วได้ประพจน์ที่มีค่าความจริงเป็นเท็จ           ∃X[P(x)] มีค่าความจริงเป็นจริง ก็ต่อเมื่อ แทนตัวแปร x ใน P(x) ด้วยสมาชิกอย่างน้อยหนึ่งตัวในเอกภพสัมพัทธ์ แล้วได้ประพจน์ที่มีค่าความจริงเป็นจริง           ∃X[P(x)] มีค่าความจริงเป็นเท็จ ก็ต่อเมื่อ แทนตัวแปร x ใน P(x) ด้วยสมาชิกแต่ละตัวในเอกภพสัมพัทธ์ แล้วได้ประพจน์ที่มีค่าความจริงเป็นเท็จทั้งหมด      ค่าความจริงของประโยคที่มีตัวบ่งปริมาณ เช่น                  ∀X[X>0], 𝚄 = {1, 2, 3}  พิจารณาค่าความจริงได้ ดั

 ตัวบ่งปริมาณ ตัวบ่งปริมาณ มี 2 แบบ คือ สำหรับ X ทุกตัว และ สำหรับ X บางตัว  เขียนแทนด้วยสัญลักษณ์ ดังนี้ ∀X แทน สำหรับ X ทุกตัว  ∃X แทน สำหรับ X บางตัว  ประโยคที่มีต้วบ่งปริมาณ เช่น จำนวนนับทุกจำนวนเป็นจำนวนเต็ม ∀X[X∈N →X∈Z] มีจำนวนจริง x ซึ่ง x + 1 = 3 ∃X[X+1=3]  ฝึกสมอง ลองความไว กับแอป QMath เล่นง่าย สนุกกับการเรียนรู้ สามารถดาวน์โหลดแอปได้ที่ลิงค์ด้านล่างเลยนะคะ https://play.google.com/store/apps/details?id=com.pro45.qmath

 ประโยคเปิด บทนิยาม ประโยคบอกเล่าหรือประโยคปฏิเสธที่มีตัวแปร ประโยคเปิดไม่สามารถบอกได้ว่ามีค่าความจริงเป็นจริงหรือเท็จ แต่เมื่อแทนตัวแปรในประโยคเปิดด้วยเอกภพสัมพัทธ์แล้วสามารถหาค่าความจริงได้ จะได้ประพจน์ เขียนสัญลักษณ์แทนประโยคเปิดใด ๆ ด้วย P(x) การเชื่อมประโยคเปิด สามารถทำได้เช่นเดียวกับการเชื่อมประพจน์ ตัวอย่างของประโยคเปิด เขาเป็นนักวิทยาศาสตร์ X > 6 X + 3X = 8 เธอเป็นนักร้องลูกทุ่ง  ฝึกสมอง ลองความไว กับแอป QMath เล่นง่าย สนุกกับการเรียนรู้ สามารถดาวน์โหลดแอปได้ที่ลิงค์ด้านล่างเลยนะคะ https://play.google.com/store/apps/details?id=com.pro45.qmath

   การอ้างเหตุผล จงตรวจสอบว่าประพจน์ที่กำหนดสมเหตุสมผลหรือไม่        เหตุ : ถ้ากระต่ายเป็นสัตว์เลี้ยงลูกด้วยนมแล้วกระต่ายจะออกลูกเป็นตัว                 กระต่ายไม่ได้ออกลูกเป็นตัว        ผล : กระต่ายไม่เป็นสัตว์เลี้ยงลูกด้วยนม วิธีทำ      ให้ p แทน  กระต่ายเป็นสัตว์เลี้ยงลูกด้วยนม           q   แทน  กระต่ายจะออกลูกเป็นตัว      เหตุ :  p → q               ~ q        ผล :  ~p จะได้รูปแบบของประพจน์  [(p → q) ∧  ~ q ] → ~p ตรวจสอบความเป็นสัจนิรันดร์ของ [(p → q) ∧  ~ q ] → ~p ดังนี้ จากแผนภาพ จะเห็นว่า เมื่อให้ [(p → q) ∧  ~ q ] → ~p เป็นเท็จ  จะพบว่า ค่าความจริงของประพจน์ย่อมขัดแย้งกัน ทำให้รูปแบบของประพจน์  [(p → q) ∧  ~ q ] → ~p เป็นเท็จ  จะได้ว่า รูปแบบของประพจน์ [(p → q) ∧  ~ q ] → ~p   เป็นสัจนิรันดร์ ดังนั้น รูปแบบของประพจน์ [(p → q) ∧  ~ q ] → ~p  นี้ สมเหตุสมผล  ฝึกสมอง ลองความไว กับแอป QMath เล่นง่าย สนุกกับการเรียนรู้ สามารถดาวน์โหลดแอปได้ที่ลิงค์ด้านล่างเลยนะคะ https://play.google.com/store/apps/details?id=com.pro45.qmath

   การอ้างเหตุผล กำหนดให้ p และ q เป็นประพจน์ จงตรวจสอบว่ารูปแบบของประพจน์ที่กำหนด สมเหตุสมผลหรือไม่        เหตุ : p → q                 q ∧ p               ~p ∨ q                 ผล : p → ~q วิธีทำ ตรวจสอบความเป็นสัจนิรันดร์ของ  [(p → q) ∧ (q ∧ p) ∧ (~p  ∨  q)] → (p → ~q) ดังนี้ จากแผนภาพ จะเห็นว่า เมื่อให้ [(p → q) ∧ (q ∧ p) ∧ (~p ∨ q)] → (p → ~q)  เป็นเท็จ  จะพบว่า ค่าความจริงของประพจน์บางกรณีไม่ขัดแย้งกัน แต่ทำให้รูปแบบของประพจน์ [(p → q) ∧ (q ∧ p) ∧ (~p ∨ q)] → (p → ~q)  เป็นเท็จ  จะได้ว่า รูปแบบของประพจน์  [(p → q) ∧ (q ∧ p) ∧ (~p ∨ q)] → (p → ~q)  ไม่เป็นสัจนิรันดร์ ดังนั้น รูปแบบของประพจน์ [(p → q) ∧ (q ∧ p) ∧ (~p ∨ q)] → (p → ~q)  นี้  ไม่สมเหตุสมผล  ฝึกสมอง ลองความไว กับแอป QMath เล่นง่าย สนุกกับการเรียนรู้ สามารถดาวน์โหลดแอปได้ที่ลิงค์ด้านล่างเลยนะคะ https://play.google.com/store/apps/details?id=com.pro45.qmath

   การอ้างเหตุผล กำหนดให้ p และ q เป็นประพจน์ จงตรวจสอบว่ารูปแบบของประพจน์ที่กำหนด สมเหตุสมผลหรือไม่        เหตุ : p  ↔  q                  q  ∧ ~ p        ผล  :  p  →   ~ q วิธีทำ ตรวจสอบความเป็นสัจนิรันดร์ ของ [( p  ↔  q ) ∧  ( q  ∧ ~ p ) ] →  ( p  →   ~ q)  ดังนี้ จากแผนภาพ จะเห็นว่า เมื่อรูปแบบของประพจน์ [(p ↔ q) ∧ (q ∧ ~p)] → (p → ~q) เป็นเท็จ  จะพบว่า ค่าความจริงของประพจน์ย่อมขัดแย้งกัน ทำให้รูปแบบของประพจน์  [(p ↔ q) ∧ (q ∧ ~p)] → (p → ~q)  เป็นเท็จ  จะได้ว่า รูปแบบของประพจน์  [(p ↔ q) ∧ (q ∧ ~p)] → (p → ~q)  เป็นสัจนิรันดร์ ดังนั้น รูปแบบของประพจน์ [(p ↔ q) ∧ (q ∧ ~p)] → (p → ~q) นี้ สมเหตุสมผล  ฝึกสมอง ลองความไว กับแอป QMath เล่นง่าย สนุกกับการเรียนรู้ สามารถดาวน์โหลดแอปได้ที่ลิงค์ด้านล่างเลยนะคะ https://play.google.com/store/apps/details?id=com.pro45.qmath

   การอ้างเหตุผล กำหนดให้ p และ q เป็นประพจน์ จงตรวจสอบว่ารูปแบบของประพจน์ที่กำหนด สมเหตุสมผลหรือไม่        เหตุ : p  →  q                 q  →   p        ผล  :  p ↔  q วิธีทำ สร้างตารางค่าความจริงของ [( p  →  q ) ∧  ( q  →   p ) ] →  ( p ↔  q )  ได้ดังนี้ จากตารางค่าความจริง พบว่า รูปแบบของประพจน์  [( p  →  q ) ∧  ( q  →   p ) ] →  ( p ↔  q )  มีค่าความจริงเป็นจริงทุกกรณี จะได้ว่ารูปแบบของประพจน์  [( p  →  q ) ∧  ( q  →   p ) ] →  ( p ↔  q )  เป็นสัจนิรันดร์ ดังนั้น รูปแบบของประพจน์  [( p  →  q ) ∧  ( q  →   p ) ] →  ( p ↔  q )  นี้ สมเหตุสมผล  ฝึกสมอง ลองความไว กับแอป QMath เล่นง่าย สนุกกับการเรียนรู้ สามารถดาวน์โหลดแอปได้ที่ลิงค์ด้านล่างเลยนะคะ https://play.google.com/store/apps/details?id=com.pro45.qmath

 การอ้างเหตุผล        ในการอ้างเหตุผลทางตรรกศาสตร์ จะใช้ข้อสรุปจากการตรวจสอบความเป็นสัจนิรันดร์ หากพบว่ารูปแบบของประพจน์นั้นเป็นสัจนิรันดร์ จะสรุปว่า การอ้างเหตุผลนั้นสมเหตุสมผล และถ้า หากพบว่ารูปแบบของประพจน์นั้นไม่เป็นสัจนิรันดร์ จะสรุปว่าการอ้างเหตุผลนั้นไม่สมเหตุสมผล         ส่วนวิธีในการดำเนินการนั้น เหตุมีได้หลายๆเหตุ และมีผลตามมา ดังนั้น  เราต้องทำการเชื่อมเหตุแต่ละเหตุด้วยตัวเชื่อม "และ" ทำการเชื่อมเหุตกับผลด้วยตัวเชื่อม "ถ้า...แล้ว..." จะได้รูปแบบของประพจน์ที่ต้องตรวจสอบต่อไป กำหนดให้ p และ q เป็นประพจน์ จงตรวจสอบว่ารูปแบบของประพจน์ที่กำหนด สมเหตุสมผลหรือไม่        เหตุ : p ∨ q                  ~ p        ผล  :  ~ q วิธีทำ สร้างตารางค่าความจริงของ [(p ∨ q) ∧ ~ p]→ ~ q ได้ดังนี้ จากตารางค่าความจริง พบว่า รูปแบบของประพจน์ [(p ∨ q) ∧ ~ p]→ ~ q  มีค่าความจริงไม่เป็นจริงทุกกรณี จะได้ว่ารูปแบบของประพจน์ [(p ∨ q) ∧ ~ p]→ ~ q ไม่เป็นสัจนิรันดร์ ดังนั้น รูปแบบของประพจน์ [(p ∨ q) ∧ ~ p]→ ~ q นี้ ไม่สมเหตุสมผล  ฝึกสมอง ลองความไว กับแอป QMath เล่นง่าย สนุกกับการเรียนรู

 สัจนิรันดร์ (tautology) วิธีหาข้อขัดแย้ง กำหนดให้ p และ q เป็นประพจน์ จงตรวจสอบว่ารูปแบบของประพจน์ [(p ↔ ~ q)  →  p]  ∨  q เป็นสัจนิรันดร์หรือไม่ วิธีทำ ให้ [(p ↔  ~  q)  →  p]  ∨  q มีค่าความจริงเป็นเท็จ  จากแผนภาพ  เมื่อให้  [(p ↔  ~  q)  →  p]  ∨  q  เป็นเท็จ  พบว่า ค่าความจริงของประพจน์ย่อมขัดแย้งกัน นั่นคือ  มีกรณีที่ p เป็นเท็จ และ q เป็นเท็จ และกรณีที่ p เป็นจริง และ q เป็นจริง ที่ทำให้รูปแบบของประพจน์  [(p ↔  ~  q)  →  p]  ∨  q  เป็นเท็จ  ดังนั้น รูปแบบของประพจน์  [(p ↔  ~  q)  →  p]  ∨  q   เป็นสัจนิรันดร์  ฝึกสมอง ลองความไว กับแอป QMath เล่นง่าย สนุกกับการเรียนรู้ สามารถดาวน์โหลดแอปได้ที่ลิงค์ด้านล่างเลยนะคะ https://play.google.com/store/apps/details?id=com.pro45.qmath

 สัจนิรันดร์ (tautology) วิธีหาข้อขัดแย้ง   การตรวจสอบความเป็นสัจนิรันดร์ นอกจากวิธีการสร้างตาราง   ค่าความจริงแล้ว เรายังสามารถใช้วิธีการที่เรียกว่า วิธีการหาข้อขัดแย้ง  เพื่อทำการตรวจสอบความเป็นสัจนิรันดร์ หากพบว่า มีข้อขัดแย้งเกิดขึ้นทุกกรณี  จะสรุปว่ารูปแบบของประพจน์นั้นๆ เป็นสัจนิรันดร์ และหากพบว่าไม่มีข้อขัดแย้งเพียงกรณีใดกรณีหนึ่ง จะสรุปว่ารู ปแบบของประพจน์นั้นๆ ไม่เป็นสัจนิรันดร์  กำหนดให้ p และ q เป็นประพจน์ จงตรวจสอบว่ารูปแบบของประพจน์  [(p → q) ∧ ~ p]→ q เป็นสัจนิรันดร์หรือไม่ วิธีทำ ให้  [(p → q) ∧ ~ p]→ q  มีค่าความจริงเป็นเท็จ  จากแผนภาพ  เมื่อให้  [(p → q) ∧ ~ p]→ q  เป็นเท็จ  พบว่า ค่าความจริงของประพจน์ไม่ขัดแย้งกัน นั่นคือ  มีกรณีที่ p เป็นเท็จ และ q เป็นเท็จ ที่ทำให้รูปแบบของประพจน์  [(p → q) ∧ ~ p]→ q  เป็นเท็จ  ดังนั้น รูปแบบของประพจน์  [(p → q) ∧ ~ p]→ q  ไม่เป็นสัจนิรันดร์  ฝึกสมอง ลองความไว กับแอป QMath เล่นง่าย สนุกกับการเรียนรู้ สามารถดาวน์โหลดแอปได้ที่ลิงค์ด้านล่างเลยนะคะ https://play.google.com/store/apps/details?id=com.pro45.qmath

   สัจนิรันดร์  กำหนดให้ p และ q เป็นประพจน์ จงตรวจสอบว่า (p →q) ∧ (p ↔ ~ q)  เป็นสัจนิรันดร์หรือไม่ วิธีทำ สร้างตารางค่าความจริงของ  (p →q)  ∧  (p  ↔   ~  q)   ได้ดังนี้ จากตารางค่าความจริง พบว่า รูปแบบของประพจน์  (p → q)    ∧   (  p  ↔   ~ q)   มีค่าความจริงไม่เป็นจริงทุกกรณี  ดังนั้น รูปแบบของประพจน์  (p → q)    ∧   (  p  ↔   ~ q)    ไม่เป็นสัจนิรันดร์   ฝึกสมอง ลองความไว กับแอป QMath เล่นง่าย สนุกกับการเรียนรู้ สามารถดาวน์โหลดแอปได้ที่ลิงค์ด้านล่างเลยนะคะ https://play.google.com/store/apps/details?id=com.pro45.qmath