ห้องเรียนคณิตศาสตร์ ครูวชรกมล

การหาค่า ลอการิทึมสามัญ ( common logarithms )        ค่าลอการิทึมของจำนวนจริงบวกที่สามารถ เขียนในรูป   10 n    เมื่อ  n  เป็นจำนวนเต็ม ด้วยสมบัติของลอการิทึม        ตัวอย่าง log   10 n   =  n  log  10   =  n   เมื่อ  n  เป็นจำนวนเต็ม         log  100  =   log  10 2   =  2   log  10  =  2         log  1000  =   log  10 3    =  3   log  10  =  3         log  0.00001  =   log  10 –5   =  (–5)   log  10  =  –5         log    1      =   log  10 –2   =  (–2)   log  10  =  –2              100

ลอการิทึมสามัญ ( common logarithms )       ลอการิทึมสามัญ  คือ  ลอการิทึมที่มีฐานเป็นสิบ  การเขียนลอการิทึมสามัญนิยมเขียนโดยไม่มีฐานกำกับ  เช่น  log 10 2  เขียนแทนด้วย  log 2          log 10 3  เขียนแทนด้วย  log 3 และ  log 10 N  เขียนแทนด้วย  log N                การพิจารณาค่าลอการิทึมของจำนวนจริงบวกที่สามารถ เขียนในรูป  10 n   เมื่อ  n  เป็นจำนวนเต็ม ด้วยสมบัติของลอการิทึม ดังนี้        log 1  =  0        log 10  =  1        log 100  =  log 10 2  =  2  log 10        log 1000  =  log 10 3   =  3  log 10        log 0.1  =  log 10 –1  =  (–1)  log 10  =  –1        log 0.01  =  log 10 –2  =  (–2)  log 10  =  –2        log 0.001  =  log 10 –3  =  (–3)  log 10  =  –3        log   10 n   =  n log 10   =  n  เมื่อ  n  เป็นจำนวนเต็ม

อนุกรม ( Series ) บทนิยาม          เมื่อ a 1 , a 2 , a 3 , …, a n เป็นลำดับจำกัด และ a 1 , a 2 , a 3 , a 4 ,…, a n , … เป็นลำดับอนันต์  เรียกผลบวกของพจน์ทุกพจน์ ของลำดับว่าอนุกรม          อนุกรมที่ได้จากลำดับจำกัด เรียกว่า อนุกรมจำกัด ( finite series )   เขียนแทนด้วย a 1 + a 2 + a 3 + …+ a n                  อนุกรมที่ได้จากลำดับอนันต์ เรียกว่า อนุกรมอนันต์ ( infinite series ) เขียนแทนด้วย a 1 + a 2 + a 3 + …+ a n + …                  a 1 คือ พจน์ที่  1  ของอนุกรม             a 2 คือ พจน์ที่  2   ของอนุกรม  และ            a n คือ พจน์ที่  n   ของอนุกรม ตัวอย่าง          1.  อนุกรม  1+3+5+7+…+15  เป็นอนุกรมจำกัดที่ได้จากลำดับ    1, 3, 5, 7,…,15          2.  อนุกรม  2+4+6+8+…+2n+…  เป็นอนุกรม อนันต์ ที่ได้จากลำดับ 2, 4, 6, 8,…,2n,…

ลำดับเรขาคณิต ( geometric sequences ) ตัวอย่าง 10   ถ้าลำดับเรขาคณิตมีพจน์ที่ 1 เป็น – 1 และพจน์ที่ 2 เป็น 2  จงหาพจน์ที่ 5 ของลำดับ วิธีทำ  หาอัตราส่วนร่วม( r ) ก่อน และหาพจน์ทั่วไป จากนั้นจึงจะหา พจน์ที่โจทย์ต้องการทราบ       จากโจทย์     a 1 =   – 1,    a 2 =   2  และ n = 5        จะได้  r a 1 =   a 2            ดังนั้น  r ( – 1 ) = 2        จะได้  r   =   – 2       จากสูตร  a n = a 1 r n – 1   สำหรับทุกจำนวนนับ  n > 1                      a 5 = – 1 ( – 2 ) 5 – 1       จะได้        a 5 = – 1 ( – 2 ) 4         ดังนั้น  a 5     =  – 16

ลำดับเรขาคณิต ( geometric sequences ) ตัวอย่าง 9   ถ้าลำดับเรขาคณิตมีพจน์ที่ 1 เป็น 4 และพจน์ที่ 2 เป็น 8 จงหาพจน์ที่ 6 ของลำดับ วิธีทำ  หาอัตราส่วนร่วม( r ) ก่อน และหาพจน์ทั่วไป จากนั้นจึงจะหา พจน์ที่โจทย์ต้องการทราบ       จากโจทย์     a 1 =   4,    a 2 =   8  และ n = 6        จะได้  r a 1 =   a 2            ดังนั้น  r ( 4 ) = 8        จะได้  r   =   2       จากสูตร  a n = a 1 r n – 1   สำหรับทุกจำนวนนับ  n > 1                      a 6 = 4 ( 2 ) 6 – 1       จะได้        a 6 = 4 ( 2 ) 5         ดังนั้น  a 6     =  128

ลำดับเรขาคณิต ( geometric sequences ) ตัวอย่าง 8   ถ้าลำดับเรขาคณิตมีพจน์ที่ 1 เป็น – 2 และพจน์ที่ 2 เป็น 8  จงหาพจน์ที่ 5 ของลำดับ วิธีทำ  หาอัตราส่วนร่วม( r ) ก่อน และหาพจน์ทั่วไป จากนั้นจึงจะหา พจน์ที่โจทย์ต้องการทราบ       จากโจทย์     a 1 =   – 2,    a 2 =   8  และ n = 5        จะได้  r a 1 =   a 2            ดังนั้น  r ( – 2 ) = 8        จะได้  r   =   – 4       จากสูตร  a n = a 1 r n – 1   สำหรับทุกจำนวนนับ  n > 1                      a 5 = – 2 ( – 4 ) 5 – 1       จะได้        a 5 = – 2 ( – 4 ) 4         ดังนั้น  a 5     =  – 512

ลำดับเรขาคณิต ( geometric sequences ) ตัวอย่าง 7   ถ้าลำดับเรขาคณิตมีพจน์ที่ 1 เป็น 3 และพจน์ที่ 2 เป็น 12 จงหาพจน์ที่ 6 ของลำดับ วิธีทำ  หาอัตราส่วนร่วม( r ) ก่อน และหาพจน์ทั่วไป จากนั้นจึงจะหา พจน์ที่โจทย์ต้องการทราบ       จากโจทย์     a 1 =   3,    a 2 =   12  และ n = 6        จะได้  r a 1 =   a 2            ดังนั้น  r ( 3 ) = 12        จะได้  r   =   4       จากสูตร  a n = a 1 r n – 1   สำหรับทุกจำนวนนับ  n > 1                      a 6 = 3 ( 4 ) 6 – 1       จะได้        a 6 = 3 ( 4 ) 5         ดังนั้น  a 6     =  3,072

ลำดับเรขาคณิต ( geometric sequences ) ตัวอย่าง 6   ถ้าลำดับเรขาคณิตมีพจน์ที่ 1 เป็น – 1 และพจน์ที่ 2 เป็น 3  จงหาพจน์ที่ 6 ของลำดับ วิธีทำ  หาอัตราส่วนร่วม( r ) ก่อน และหาพจน์ทั่วไป จากนั้นจึงจะหา พจน์ที่โจทย์ต้องการทราบ       จากโจทย์     a 1 =   – 1,    a 2 =   3  และ n = 6        จะได้  r a 1 =   a 2            ดังนั้น  r ( – 1 ) = 3        จะได้  r   =   – 3       จากสูตร  a n = a 1 r n – 1   สำหรับทุกจำนวนนับ  n > 1                      a 6 = – 1 ( – 3 ) 6 – 1       จะได้        a 6 = – 1 ( – 3 ) 5         ดังนั้น  a 6     =  243

ลำดับเรขาคณิต ( geometric sequences ) ตัวอย่าง 5   ถ้าลำดับเรขาคณิตมีพจน์ที่ 1 เป็น 2 และพจน์ที่ 2 เป็น 6 จงหาพจน์ที่ 7 ของลำดับ วิธีทำ  หาอัตราส่วนร่วม( r ) ก่อน และหาพจน์ทั่วไป จากนั้นจึงจะหา พจน์ที่โจทย์ต้องการทราบ       จากโจทย์     a 1 =   2,    a 2 =   6  และ n = 7        จะได้  r a 1 =   a 2            ดังนั้น  r ( 2 ) = 6        จะได้  r   =   3       จากสูตร  a n = a 1 r n – 1   สำหรับทุกจำนวนนับ  n > 1                      a 7 = 2 ( 3 ) 7 – 1       จะได้        a 7 = 2 ( 3 ) 6         ดังนั้น  a 7     =  1,458

ลำดับเรขาคณิต ( geometric sequences ) ตัวอย่าง 4   ถ้าลำดับเรขาคณิตมีพจน์ที่ 1 เป็น – 5 และพจน์ที่ 2 เป็น 10  จงหาพจน์ที่ 5 ของลำดับ วิธีทำ  หาอัตราส่วนร่วม( r ) ก่อน และหาพจน์ทั่วไป จากนั้นจึงจะหา พจน์ที่โจทย์ต้องการทราบ       จากโจทย์     a 1 =   – 5,    a 2 =   10  และ n = 5        จะได้  r a 1 =   a 2            ดังนั้น  r ( – 5 ) = 10        จะได้  r   =   – 2       จากสูตร  a n = a 1 r n – 1   สำหรับทุกจำนวนนับ  n > 1                      a 5 = – 5 ( – 2 ) 5 – 1       จะได้        a 5 = – 5 ( – 2 ) 4         ดังนั้น  a 5     =  – 80

ลำดับเรขาคณิต ( geometric sequences ) ตัวอย่าง 3   ถ้าลำดับเรขาคณิตมีพจน์ที่ 1 เป็น 2 และพจน์ที่ 2 เป็น 4 จงหาพจน์ที่ 6 ของลำดับ วิธีทำ  หาอัตราส่วนร่วม( r ) ก่อน และหาพจน์ทั่วไป จากนั้นจึงจะหา พจน์ที่โจทย์ต้องการทราบ       จากโจทย์     a 1 =   2,    a 2 =   4  และ n = 6        จะได้  r a 1 =   a 2            ดังนั้น  r ( 2 ) = 4        จะได้  r   =   2       จากสูตร  a n = a 1 r n – 1   สำหรับทุกจำนวนนับ  n > 1                      a 6 = 2 ( 2 ) 6 – 1       จะได้        a 6 = 2 ( 2 ) 5         ดังนั้น  a 6     =  64

ลำดับเรขาคณิต ( geometric sequences ) ตัวอย่าง 2   ถ้าลำดับเรขาคณิตมีพจน์ที่ 1 เป็น 1 และพจน์ที่ 2 เป็น 5  จงหาพจน์ที่ 7 ของลำดับ วิธีทำ  หาอัตราส่วนร่วม( r ) ก่อน และหาพจน์ทั่วไป จากนั้นจึงจะหา พจน์ที่โจทย์ต้องการทราบ       จากโจทย์     a 1 =   1,    a 2 =   5  และ n = 7        จะได้  r a 1 =   a 2            ดังนั้น  r ( 1 ) = 5        จะได้  r   =   5       จากสูตร  a n = a 1 r n – 1   สำหรับทุกจำนวนนับ  n > 1                      a 7 = 1 ( 5 ) 7 – 1       จะได้        a 7 = 1 ( 5 ) 6         ดังนั้น  a 7     =  15,625

ลำดับเรขาคณิต ( geometric sequences ) ตัวอย่าง 1   ถ้าลำดับเรขาคณิตมีพจน์ที่ 1 เป็น 1 และพจน์ที่ 2 เป็น 3  จงหาพจน์ที่ 9 ของลำดับ วิธีทำ  หาอัตราส่วนร่วม( r ) ก่อน และหาพจน์ทั่วไป จากนั้นจึงจะหา พจน์ที่โจทย์ต้องการทราบ       จากโจทย์     a 1 =   1,    a 2 =   3  และ n = 9        จะได้  r a 1 =   a 2            ดังนั้น  r ( 1 ) = 3        จะได้  r   =   3       จากสูตร  a n = a 1 r n – 1   สำหรับทุกจำนวนนับ  n > 1                      a 9 = 1 ( 3 ) 9 – 1       จะได้        a 9 = 1 ( 3 ) 8         ดังนั้น  a 9     =  6,561

ลำดับเลขคณิต ( arithmetic sequence ) ตัวอย่าง 10   ถ้าลำดับเลขคณิตมีพจน์ที่ 1 เป็น –5 และพจน์ที่ 7 เป็น 7  จงหาพจน์ที่ 18 ของลำดับ วิธีทำ  หาผลต่างร่วม( d ) ก่อน และหาพจน์ทั่วไป จากนั้นจึงจะหา พจน์ที่โจทย์ต้องการทราบ       จากโจทย์     a 1 =   –5,    n = 18  และ a 7 =   7       จากสูตร  a n     =  a 1 + ( n – 1 ) d  สำหรับทุกจำนวนนับ  n       จะได้  7  =  –5 + ( 7 – 1 ) d                  7  =  –5 + 6d                 7 + 5  =  6d                   12    =  6d                           d  =  2       ดังนั้น  a n     =  a 1 + ( n – 1 ) d       จะได้   a 18     =  –5 + ( 18 – 1 )( 2 )                         =  –5 + 34                         =  29